강의
벡터의 내적
두 벡터 \(u = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}), v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})\)의 좌표값을 통해 다음과 같이 계산된다.
\[uv = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + ... + u_{n}v_{n}\]두 벡터간의 내적이 \(uv = 0\)이면, 두 벡터는 직교이다.
투영(Projection)
두 벡터 u, a가 있을 때, 벡터 u를 a위에 투영한 벡터를 \(proj_{a}u\)라고 하며, 다음과 같이 구한다.
\[proj_{a}u = (길이)(방향) = (u\frac{a}{\parallel a\parallel})(\frac{1}{\parallel a\parallel}a) = (기저 a에 대한 좌표값)a = (\frac{ua}{\parallel a\parallel^{2}})a\]벡터 u를 a위에 투영하고 남은 보완 벡터(complement vector) 는 \(u-proj_{a}u\)이다.
두 벡터 u,a가 있을 때, 투영과 보완의 개념을 이용해 직교분할할 수 있다.
\[proj_{a}u \bot (u-proj_{a}u)\] \[u = proj_{a}u + (u - proj_{a}u)\]직교 행렬(orthogonal matrix)
주어진 행렬의 모든 열벡터가 서로 직교한다면, 이 행렬을 직교행렬이라 한다.
직교행렬은 직교좌표계를 의미한다.
정규직교행렬은 주어진 행렬이 직교행렬이며, 모든 열벡터의 크기가 1인 행렬이다.
QR 분해
\[A = Q R\] \[\left[\begin{array}{rrr} *&*&*\\ *&*&*\\ *&*&* \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} *&*&*\\ *&*&*\\ *&*&* \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} *&*&*\\ 0&*&*\\ 0&0&* \end{array}\right]\]- Q: orthonormal matrix(정규직교행렬)
- R: upper triangular matrix(상삼각행렬)
- LU 분해의 경우, 선형시스템을 풀 때 병렬처리 불가능
- QR 분해의 경우 Q 행렬이 꽉찬 구조를 가지므로 메모리 사용량이 많음